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Transformaciones isométricas
1. Transformaciones isométricasUna transformación isométrica es un movimiento en que se conserva la medida de los lados de los ángulos de una figura. Es decir, una transformación isométrica convierte una figura en otra que es imagen de la primera, y por lo tanto congruente a la original.
Las transformaciones isométricas pueden ser: la traslación, el giro o rotación, la reflexión en torno a un eje y la reflexión en torno a un punto o una combinación entre ellas. 1.1. TraslaciónSi movemos paralelamente una cierta figura en una dirección, lo que estamos efectuando es una traslación en una magnitud, dirección y sentido.

Observa que la traslación queda completamente determinada si conocemos el vector del movimiento (su magnitud de traslado, sentido y dirección), ya que se obtiene la imagen de cada uno de los puntos de la figura.
Traslación en un sistema cartesiano.
Si el punto P = (a, b) lo trasladamos en el vector  = (u, v) se transforma en el punto P’= (a + u , b + v).

Ejemplo:

¿En qué posición queda el punto A= (-3,4) si lo trasladamos en el vector   = (5,6)?
El punto A = (-3,4) se traslada al punto A’ = (-3 + 5, 4 + 6), entonces su imagen es A’= (2,10).

Propiedades de la traslación

Supongamos que el segmento  de la figura se ha trasladado en la dirección del vector

Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

(1) AB  B’A’
(2) La figura   ABB’A’ es un paralelogramo.

Las propiedades anteriores se pueden demostrar a través de la congruencia de los triángulos ABA’ y B’ A’ B.

1.2. Giro o rotación

Si giramos una figura en torno a un punto O, obtenemos una figura congruente a la original.

Observa que el giro queda determinado si conocemos el punto que utilizaremos como centro de rotación O y el ángulo de giro .

Los ángulos positivos se medirán en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj, y si el ángulo es negativo, el giro se realizará en el mismo sentido de los punteros del reloj.

Por ejemplo:

 Ángulo positivo

Ángulo negativo

Rotación en un sistema cartesiano

a) Rotación en 90°

El punto P = (x, y) se transforma en el punto P’ = (-y, x)

Observa que se ha girado los 90º en sentido contrario a los punteros del reloj.

b) Rotación en  -90º

Una rotación del punto P desde el origen en  -90º  corresponde según vemos, al punto P’.
Observa que el giro se realizó en el mismo sentido de los punteros del reloj.

c) Rotación en 180°

El punto P = (x, y) se transforma en el punto P’ = (-x,-y)

Recuerda que en los puntos del sistema de coordenadas siempre se ubica la abscisa del eje X y luego la ordenada del eje Y.

El ángulo POP’ es extendido (180º)

d) Rotación en 270°

El punto P = (x, y) se transforma en el punto P’ = (y,-x). Observa que la rotación en 270º desde el origen equivale a un giro en -90º desde el mismo origen.

Propiedades de la rotación

Supongamos que el segmento  de la figura se ha rotado en torno al punto O en un ángulo de 60º, obteniendo su imagen A’B’.

Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
(1) AB A’B’
(2) <IMG alt="Triángulo be o a es semejante con triángulo be prima o a prima"

¿Que son las transformaciones isometricas?

¿Que son las transformaciones isometricas?

Son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones y el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

La palabra isometría tiene su origen en el griego iso(igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometria: simetría,traslacion y rotación.